Ακέραιοι αριθμοί – Πρώτοι αριθμοί
Μαθηματικά για όλους / By Νίκος Ζαφειρόπουλος
- Ακέραιοι ονομάζονται οι αριθμοί 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 , 4, -4, … Οι θετικοί ακέραιοι είναι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, … Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με τους θετικούς ακέραιους.
- Λέμε ότι ο ακέραιος 5 διαιρεί το 30 ή ότι το 30 διαιρείται με το 5, επειδή υπάρχει ο ακέραιος 6 έτσι ώστε 5 x 6 =30
- Ομοίως το 9 διαιρεί το 27 γιατί 3 x 9=27 , το 52 διαιρείται με το 13 γιατί 52=13 x 4 , αλλά το 4 ΔΕΝ διαιρεί 10 γιατι δεν υπάρχει ακέραιος που να πολλαπλασιαστεί με το 4 και το γινόμενο να ισούται με 10. Βέβαια είναι 4 x 2,5=10 , αλλά το 2,5 δεν είναι ακέραιος
Πρώτοι αριθμοί
Ένας ακέραιος μεγαλύτερος του 1 λέγεται πρώτος όταν διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και το 1.
Έτσι ο αριθμός 2 είναι πρώτος, γιατί διαιρείται μόνο από το 2 και το 1 . Ομοίως ο αριθμός 17 είναι πρώτος γιατί διαιρείται μόνο από το 1 και το 17. Ο αριθμός 39 δεν είναι πρώτος γιατί διαιρείται και με το 3. Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος. Άρα ο 39 είναι σύνθετος. Ο αριθμός 1 δεν θεωρείται σύνθετος, αλλά ούτε και πρώτος. Ο μόνος άρτιος ακέραιος που είναι πρώτος είναι το 2. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί. Άρα ο 2022 είναι σύνθετος γιατί είναι άρτιος- κάθε ακέραιος που το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8 είναι άρτιος, άρα σύνθετος . Ο αριθμός 2023202320232023202320232023 είναι περιττός, άρα θα μπορούσε να είναι πρώτος. Θα μπορούσε, αλλά δεν είναι γιατί διαιρείται με το 2023. Τι γίνεται όμως με τον αριθμό 2017201720172003 ; Είναι περιττός, άρα θα μπορούσε να είναι πρώτος, είναι όμως; Εδώ για την απάντηση θα μπορούσαμε να ζητήσουμε την βοήθεια ενός υπολογιστή, που με την χρήση του κατάλληλου προγράμματος θα μας απαντούσε ότι ο αριθμός είναι πρώτος
Η εικασία του Goldbach
Μαθηματικά για όλους / By Νίκος Ζαφειρόπουλος
Η εικασία του Goldbach ( Γκόλντμπαχ ), είναι ένας ισχυρισμός που διατυπώθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Christian Goldbach (1690-1764) το 1742 και παραμένει αναπόδεικτος. Η εικασία λέει το εξής απλό :
Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων.
Πράγματι είναι : 4 =2+2, 8=5+3, 16=5+11 = 13+3 , …
Όπως βλέπουμε υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι πρώτων που επαληθεύουν την εικασία, μόνο που αυτό δεν είναι απόδειξη. Όποιον άρτιο και αν έχουμε δοκιμάσει μέχρι τώρα , πάντα τον γράψαμε ως άθροισμα δύο πρώτων.
Π.χ.
12345678 = 31 + 12345647
1234567898765432 = 103 + 1234567898765329
Επειδή όμως δεν είναι δυνατόν να ελέγξουμε όλους τους άρτιους, εφόσον είναι άπειροι, η απόδειξη εκκρεμεί. Μπορείτε να προσπαθήσετε να αποδείξετε την εικασία κι αν τα καταφέρετε το όνομα σας θα μείνει στην ιστορία.
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ
Κάθε ακέραιος γράφεται ως γινόμενο πρώτων κατά μοναδικό τρόπο.
Π.χ. 42= 2 x 3 x 7 και δεν υπάρχουν άλλοι πρώτοι που το γινόμενο τους να ισούται με 42.
Ομοίως έχουμε : 26 =2×13 , 28 =2x2x7 , 100=2x2x5x5 και 4099093026449= 20172007 x 203207
Προφανώς η τελευταία παραγοντοποίηση δεν μπορεί να γίνει εύκολα χωρίς τη χρήση υπολογιστή και αν ο αριθμός είναι πολύ μεγάλος μπορεί η παραγοντοποίηση και μέσω υπολογιστή, να χρειαστεί αρκετά λεπτά ή ώρες ή μέρες ή μήνες ή και χρόνια! Κι αυτό ισχύει ακόμη κι αν γίνεται χρήση πολύ ισχυρών υπολογιστών!